粒子滤波

由最基础的贝叶斯估计开始介绍,再引出蒙特卡罗采样,重要性采样,SIS粒子滤波,重采样,基本粒子滤波Generic Particle Filter,SIR粒子滤波,这些概念的引进,都是为了解决上一个概念中出现的问题而环环相扣的1

贝叶斯滤波

假设有一个系统,我们知道它的状态方程,和测量方程如下:

\[ \left\{ \begin{array}{l} {x_k} = f\left( { {x_{k - 1}}} \right){\rm{ + }}{\omega _ {k - 1}}\\ {z_k} = h\left( { {x_k}} \right){\rm{ + }}{\upsilon _ k} \end{array} \right. \tag{1}\]

其中\(x\)为系统状态,\(z\)为测量到的数据,\(f\),\(h\)是状态转移函数和测量函数(有界非线性映射函数),\(w\),\(v\)为过程噪声和测量噪声,噪声都是独立同分布的。

贝叶斯估计的主要目的是在已知系统初始状态、噪声特性以及测量信息\(z_{1:k}\)的条件下,递推出\(k\)时刻状态变量\(x_k\)的可信度。实际上,贝叶斯原理的实质是通过预测和更新系统状态变量的先验概率密度来得到后验概率密度(可信度)\(p(x_k|z_{1:k})\) ,这是一个将先验知识与测量数据加以综合的过程,由此获得状态的最优估计。

  • 预测过程是利用系统模型\((1)\)预测状态的先验概率密度,也就是通过已有的先验知识对未来的状态进行猜测,即\(p(x_k|x_{k-1})\)
  • 更新过程则利用最新的测量值对先验概率密度进行修正,得到后验概率密度,也就是对之前的猜测进行修正。

一般都先假设系统的状态转移服从一阶马尔科夫模型,即当前时刻的状态\(x_k\)只与上一个时刻的状态\(x_{k-1}\)有关。时,假设\(k\)时刻测量到的数据\(z_k\)只与当前的状态\(x_k\)有关,如上面的状态方程\((1)\)

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